Поспешил я с выводами. Проблема вернулась.
Отключение ЧПУ и удаление .htaccess не помогает
Заметил одну особенность - если проверять на доступность внутреннюю страницу сайта, то она доступна. После этой проверки и главная страница на некоторое время становится доступной. Потом снова ошибка.
Т.е. проблема, скорее всего, в кеше.