Только что нашел решение.
Как оказалось, почему-то именно на сервере - то ли был конфликт, то ли еще что-то, но из-за работы модуля всплывающего окна, не сохранялись изменения. Как я предполагаю, проблема была в модуле, когда я его отключал - все становилось нормально. Но он мне нужен, поэтому я в php файле модуля удалил все, что касалось или могло касаться товаров, и оставил основной код, который необходим для других страниц. После этого и модуль работает и информация сохраняется. Такое также бывает (прочитал в интернете) иногда с модулями создания доп. вкладок (табов). Но во всяком случае, как я думаю, нужно копать на дополнительные модули, которые установлены и появляются в левой панели вкладок на странице добавления товара. И по очереди их отключать, чтобы проверить в каком из них проблема.