Самый простой путь, это использовать возможности, что дает prestashop. В указанных классах определены методы, которые вам нужны. Все что вам нужно, это переопределить методы, в которые хотите добавить нужную вам функциональность.
а переменные для этого запроса я буду формировать в своей системе оплаты.
Переменные уже определены в prestashop,
$id_cart, $id_order_state, $paymentMethod ...
вам нужно только вернуть значения переменных.
Чтобы лучше понять механизм работы prestashop, возьмитесь за написание простого модуля. Написание модулей оплаты для prestashop требуют больше знаний.